lr裁切调色口诀 如何理解理想和理想生成与中国剩余定理？

lr裁切调色口诀

如何理解理想和理想生成与中国剩余定理？

如何理解理想和理想生成与中国剩余定理？

先简单复习一下群和环的基本概念：
群：
非空集合 G，其实的 二元运算 ° : G × G → G 如果满足：
结合律：对于任意 a, b, c ∈ G，都有 (a ° b) ° c a ° (b ° c)；
则 称 (G, °) 为 半群。如果再满足：
有幺元：存在 e ∈ G，使得 对于任何 a ∈ G ，都有 a ° e e ° a a；
则 称 (G, °) 为 幺半群，e 称为 幺元。如果再满足：
可逆性：对于任何 a ∈ G，都存在 b ∈ G，使得 a ° b b ° a e；
则 称 (G, °) 为 群，b 称为 a 的 逆元，记为 a?1。如果再满足：
交换律：对于任何 a, b ∈ G，都有 a ° b b ° a；
则 称 (G, °) 为 Abel 群（也称 交换群）。
注：当群的运算 ° 被当做乘法看待时，按照代数的习惯，可以省略不写。环：
非空集合 R 上的 分别被称为 加法 和 乘法 的 二元运算 , · : R × R → R，如果满足：
(R, ) 构成 Abel 群；
(R, ·) 构成 半群；
乘法对加法的分配律：对于任意 a, b, c ∈ R，都有 a(b c) ab ac，(b c)a ba ca；
则 称 (R, , ·) 为 环，为了区分，我们改称 (R, ) 中的 幺元为 零元，记为 0，a 的 逆元为 负元，记为 -a。
如果 环 (R, , ·) 满足：
(R, ·) 构成 幺半群；
则称 (R, , ·) 是 幺环，并将 (R, ·) 的幺元，记为 1。说 幺环中 某元素 可逆，是对 乘法 而言。
如果 环 (R, , ·) 满足：
乘法交换律：对于任何 a, b ∈ R，都有 ab ba；
则称 (R, , ·) 是 交换环。
只含有一个元素（必然是 0 ）的环称为 零环。零环是幺环。
环 (R, , ·) 中，对于 元素 a ∈ R 若 存在 非零 b ∈ R {0}，使得 ab 0 或 ba 0，则称 a 是一个 左或右 零因子。零元 是 零因子，所有 零因子 不可逆。
称 0 是唯一的 零因子 的 非零交换幺环 为 整环；称 非零因子均可逆的 非零幺环 为 体；称 非零因子均可逆的 非零交换幺环 为 域。
理解理想这需要从正规子群说起。
可以将 群 的 元素之间运算 升级到 群子集 之间， 对于 群 G 的子集 K，L 定义运算：
KL {kl | ? k ∈ K, ? l ∈ L}
特别地， 当 K 或 L 是 但元素集合 {a} 时，分别将 {a}L 和 K{a} 简写为 aL 和 Ka。
群 G 的非空子集 H ? G，如果 在 G 的运算下 构成 群，则称 H 为 G 的 子群。
给定 群 G 的 子群 H，可以定义 G 中任意元素 a，b 之间的关系：
a ～? b 当且仅当 存在 h ∈ H，使得 ah b
这个关系满足：
自反性，因为：e ∈ H, ae a ? a ～? a；
对称性，因为： a ～? b ? ? h ∈ H, ah b ? ? h?1 ∈ H, bh?1 ahh?1 a ? b ～? a；
传递性，因为：a ～? b ∧ b ～? c ? ? h, g ∈ H, ah b ∧ bg c ? ? hg ∈ H, a(hg) bg c ? a ～? c；
因此，a ～? b 是等价关系。而容易知道 a ∈ G 的等价类为 aH 被称为 a 的 左陪集，所有等价类的集合 称为 G 的 商集 ，记为 G/～?。
类似的 还可以定义：
a ～? b 当且仅当 存在 h ∈ H，使得 ha b
同理 a ～? b 也是等价关系， a ∈ G 的等价类为 Ha 被称为 a 的右陪集，对应的商集为 G/～?。
现在考虑，依 G 的 子群 H 定义的 等价关系 ～? （～?） 所产生的 G 的商集 G/～?（G/～?） 在集合运算 下是否构成 一个群？
这要保证：
G/～? 中 任意 两个左陪集 之 集合运算结果 仍然是 左陪集 ①
如果 ① 成立，则 对于任意左陪集 aH 和 bH ，存在 c ∈ G 使得，对于任意 ah? ∈ aH和 bh? ∈ bH 都有：
ah?bh? ch? ∈ cH ②
当 h? h? e 时，② 中等式变为：
ab ch?
故 c ～? ab，因此 可以 令 c ab，于是 ② 中等式变为：
ah?bh? ab
等式两边 左乘 h??1a?1，有：
h??1a?1ah?bh? h??1a?1ab
h??1eh?bh? h??1eb
h??1h?bh? h??1b
ebh? h??1b
bh? h??1b ∈ Hb
由于 h? 在 H 中的任意性，所以上式相当于：
bH ? Hb
于是得到结论，
如果 ① 成立，则有：
G 中 任意元素的左陪集 属于 右陪集 ③
同理，可以证明：
如果：
G/～? 中 任意 两个右陪集 之 集合运算结果 仍然是 右陪集
则有：
G 中 任意元素的右陪集 属于 左陪集
综上，得出，
如果：
G/～? 和 G/～? 在集合运算 构成 群 ④
则有：
G 中 任意元素的右陪集 等于 左陪集 ⑤
反过来，如果 ⑤ 成立。
对于 G 中 任意元素 b 的左陪集 的 任意 bh? ∈ Hb，有：
bh? h?b ∈ Hb
对于任意 a ∈ G 的左陪集 aH 中的任意元素 ah? ∈ aH，令，
h? h?h?
显然 h? ∈ H，根据 ⑤ 必然存在：
h?b bh? ∈ bH
于是，对于 aH 和 bH 中任意两个元素的乘积，有：
(ah?)(bh?) ah?h?b ah?b abh? ∈ (ab)H
这样就证明了 ① ，确保 G/～? 在集合运算 构成 群。
而 当 ⑤ 成立 时，显然：
G/～? G/～?
故，④ 成立。
这就说明： ④ 的 充要条件 是 ⑤。
于是，我们得出最终结论：
如果 G 的 H 子群满足，
对于任意 a ∈ G 有 aH Ha；
则 G/～? G/～? 在集合运算下 构成 群，成为 商群，并记为 G/H，同时称 H 为 G 的 正规子群。
Abel 群的 子群一定是 正规子群。
然后，引入理想的概念。
和子群类似，如果 R 的非空子集 I，在 R 的 加法和乘法下构成一个环，则成 I 是 R 的子环。
I 是 R 的子环，蕴涵了 I 是 R 的 加法子群，由于 它们是 Abel 群，所以 I 是 R 的 加法正规子群，进而 R/I 在 陪集加运算（任意 a, b ∈ R）：
(a I) (b I) (a b) I
下构成商群，而且是 Abel 群。
如果，再给 R/I 赋予 陪集积运算：
(a I)(b I) ab I ⑥
则，陪集积运算，满足：
结合律： ((a I)(b I))(c I) (ab I)(c I) (ab)c I a(bc) I (a I)(bc I) (a I)((b I)(c I))
分配率：(a I)((b I) (c I)) (a I)((b c) I) a(b c) I (ab ac) I (ab I) (ac I) (a I)(b I) (a I)(c I)
于是 R/I 就变成一个环，称为 商环。
如果 ⑥ 成立，则 对于 任意 a i? ∈ a I 和 b i? ∈ b I 有：
(a i?)(b i?) ∈ ab I
展开左边得到：
ab i?b ai? i?i? ∈ ab I
于是：
i?b ai? i?i? ∈ I
当 i?, i? 0 时，得到：
ai?, i?b ∈ I
基于 i?，i? 的任意性，可推导出：
Ib，aI ? I
而基于 a, b 的任意性，可得出：
如果 ⑥ 成立，则：
对于任意 a ∈ R，有 aI ? I 并且 la ? I ⑦
反过来，如果 ⑦ 成立。
对于任意 a i? ∈ a I， b i? ∈ b I，有：
(a i?)(b i?) ab i?b ai? i?i?
条件 ⑦ 使得 i?b, ai? ∈ I，而本来 i?i? ∈ I，于是 i?b ai? i?i? ∈ I，进而：
(a i?)(b i?) ∈ ab I
于是 ⑥ 成立。
综上说明：⑥ 的 充要条件 是 ⑦，我们称满足条件 ⑦ 的 子环 I 为 理想。
正规子群保证了 群的 商集 是 群，理想保证了 环的 商群 是 环。
理解理想生成环 R 中 的子集 M，包含 M 的最小理想 称为 有 M 生成的 理想，记为 (M)。
特别地当 M {a} 时，将 ({a}) 简写为 (a)，并称由一个元素生成的理想，为 主理想。如果 一个环中的 所有理想都是 主理想，则称 该环 为 主理想环。
考虑 M 的 生成理想：
首先，对于 任意 m ∈ M 一定有 m ∈ (M)。
然后，因为 (M) 是理想，于是对于任意 s，r ∈ R，有 sm，mr ∈ (M)，进而 smr ∈ (M)。
又，因为 (M) 自相加封闭，所以：
任意 n 个 m 相加，记为 nm m ... m ∈ (M)，有 nm ∈ (M)；
因为 nmr mr ... mr m(r ... r) mnr，而 nr ∈ R，又基于 r 的任意性，于是 mr 已经包括了 nmr 的情况。其它 sm 和 smr 类似，也包括了 nsm 和 nsmr 的情况；
再，因为 (M) 对加法封闭，所以：
nm sm mr smr ∈ (M)
最后，考虑到上式中各元素之间的任意性，于是我们得到：
(M) { ∑_{有限} n_im_i s_jm_j m_kr_k s_lm_lr_l |n_i ∈ Z _{≥0} m_i, m_j, m_k, m_l ∈ M s_j, r_k, s_l, r_l ∈ R }
如果 R 是幺环，则：
sm 令 s n1 有 sm n1m nm，这说明 nm 已经被 sm 包括；
smr 分别令 s 1 或 r 1，有：smr 1mr mr 或 smr sm1 sm，所以 sm 后 mr 被 smr 包括 ；
综上，我们得到：
(M) { ∑_{有限} s_im_ir_i |m_i ∈ M s_i, r_i ∈ R }
显然 对于幺环 R 来说 (1) R。
如果 R 是交换环，则：
smr srm 其后 sr ∈ R ，又基于 s 的任意性，于是 sm 已经包括了 smr 的情况；
mr rm 这和 sm 等同；
综上，我们得到：
(M) { ∑_{有限} n_im_i s_jm_j | n_i ∈ Z _{≥0} m_i, m_j ∈ M s_j ∈ R }
如果 R 是交换幺环，则有：
(M) { ∑_{有限} s_im_i |m_i ∈ M s_i ∈ R } ⑧
理解中国剩余定理回顾一下 理想的 运算。
考虑，环 R 的理想 I, J 的交 I ∩ J。对于 任意 a，b ∈ I ∩ J，因为 I，J 是理想，所以 a b, ab ∈ I，a b, ab ∈ J 故 a b, ab ∈ I ∩ J，即， I ∩ J 对加法和乘法封闭，因此 I ∩ J 是 R 的 子环。又 任何 元素 a ∈ I ∩ J，对于 任意 r ∈ R，因为 I，J 是理想，所以 ra ∈ I，ra ∈ J，故 ra ∈ I ∩ J， 同理 有 ar ∈ I ∩ J，这就说明 I ∩ J 是 R 的 理想。
考虑，环 R 的理想 I, J 的和 I J。对于 任意 a? b?, a? b? ∈ I J，其中 a?, a? ∈ I， b?, b? ∈ J ⑨，有：
(a? b?) (a? b?) (a? a?) (b? b?)，因为 ⑨ 所以 a? a? ∈ I，b? b? ∈ J 进而 (a? a?) (b? b?) ∈ I J ，即，(a? b?) (a? b?) ∈ I J；
(a? b?) (a? b?) (a?a? b?a?) (a?b? b?b?)，因为 ⑨ 所以 a?a? ∈ I， b?b? ∈ J ，又由于 I, J 是理想，所以 b?a? ∈ I, a?b? ∈ J ，于是 a?a? b?a? ∈ I, a?b? b?b? ∈ J，所以 (a?a? b?a?) (a?b? b?b?) ∈ I J，即 (a? b?) (a? b?) ∈ I J；
这就是说明 I J 对加法和乘法封闭，因此 I J 是 R 的 子环。又 任意元素 a b ∈ I J，对于 任意 r ∈ R，因为 I，J 是理想，所以 ra ∈ I，rb ∈ J，故 r(a b) ra rb ∈ I J， 同理 有 (a b)r ∈ I J， 这就说明 I J 是 R 的 理想。
考虑，环 R 的理想 I, J 的（集合）积 I·J。 我们无法保证 I·J 对于 加和乘法封闭，进而 我们不能保证 I·J 是理想，于是我们重新定义，环 R 的理想 I, J 的积 IJ 为 它们作为 集合之积 I·J 的 生成理想，即 IJ (I·J)。
对于每个 a ∈ I ∩ J，a a 0 ∈ I J，故 I ∩ J ? I J。
对于 任意 ab ∈ I·J，其中 a ∈ I， b ∈ J，但是 I, J 是理想，所以 ab ∈ I， ab ∈ J 进而 I·J ? I ∩ J 。再根据 生成理想 的最小性，得出：IJ ( I·J) ? I ∩ J。
理想的积对于理想的和满足交换律：K(I J) KI KJ，(I J)K IK JK。
对于 幺环 R 中的 理想 I，如果 1 ∈ I，则 对于任意 r ∈ R，有 r1 r ∈ I，故 R ? I，进而 I R。⑴
设 R 是 幺环，对于 R 的 理想 I, J，如果：
I J R
则 称 I 和 J 互素。
如果 存在 a ∈ I，b ∈ J，使得 a b 1，则 1 ∈ I J，根据结论 ⑴ ，有 I J R。反过来 若 I J R，则 1 ∈ I J 于是必然存在 a ∈ I，b ∈ J，使得 a b 1。故 ，I 和 J 的充要条件是 存在 a ∈ I，b ∈ J，使得 a b 1。⑵
如果 J 与 I?, I? 都 互素，根据 ⑵ 必然存在 a?, a? ∈ J, b? ∈ I?, b? ∈ I? 使得 a? b? 1, a? b? 1，于是 (a? b?)(a? b?) (a?a? a?b? b?a?) (b?b?) 1，其中 a?a? a?b? b?a? ∈ J，b?b? ∈ I?I?，根据 ⑵ 得出 J 和 I?I? 互素，即， J I?I? R，又由于 I?I? ? I? ∩ I? ? I? I?，所以 J 和 I? ∩ I? 或 I? I? 也互素。⑶
对于 环 R 中的 理想 I, J 组成的 笛卡尔积：
I × J {(a, b) | a ∈ I，b ∈ J }
上定义：
加法 (a?, b?) (a?, b?) (a? a?, b? b?)
乘法 (a?, b?) · (a?, b?) (a? · a?, b? · b?)
则 (I × J, , ·) 构成一个环，称为 I 和 J 的直积。
中国剩余定理：设 R 是幺环， I?, I?, ..., I? 是 R 中 两两互素的 理想，则有，
R / ( I? ∩ I? ∩ ... ∩ I? ) ? R / I? × R / I? × ... × R / I?
要证明这个定理，需要引入，环同态基本定理：
对于 从 环 R 到 环 R‘ 的 映射 f: R → R‘，如果对于任意 a, b ∈ R 满足：
f(a b) f(a) f(b)
f(ab) f(a)f(b)
我们称 f 是 环同态，如果 f 还是 双射，则 称 f 是 环同构，同时也称 R 和 R‘ 同构，记为： R ? R‘。
对于 环同态 f: R → R‘，定义：
同态像：im f {f(r) | ? r ∈ R}；
同态核：ker f {r | ? r ∈ R, f(r) 0}；
环同态基本定理：对于 环同态 f: R → R‘，则有：
ker f ? im f
为了便于理解，见下图：
（由于篇幅有限，环同态基本定理的证明略，有兴趣的朋友，请参考《抽象代数》。）
接下来，我们证明中国剩余定理：
可以构造 映射，
f: R → R / I? × R / I? × ... × R / I?
s ? (s I?, s I?, ..., s I?)
则，对于任意 a, b ∈ R ，有：
f(a b) ((a b) I?, (a b) I?, ..., (a b) I?) ((a I?) (b I?), (a I?) (b I?), ..., (a I?) (b I?)) (a I?, a I?, ..., a I?) (b I?, b I?, ..., b I?) f(a) f(b)；
f(ab) (ab I?, ab I?, ..., ab I?) ((a I?)(b I?), (a I?)(b I?), ..., (a I?)(b I?)) (a I?, a I?, ..., a I?)(b I?, b I?, ..., b I?) f(a)f(b)；
因此 f 是 环同构。
首先，( I?, I?, ..., I?) 是 R / I? × R / I? × ... × R / I? 的零元，而，对于 x ∈ I? ∩ I? ∩ ... ∩ I?，有 x ∈ I?， I?， ...， I? ，进而有，
f(x) (x I?, x I?, ..., x I?) ( I?, I?, ..., I?)
故，
ker f I? ∩ I? ∩ ... ∩ I?
然后，由于 任意 I? (i 1, 2, ..., r) 与 I?, ..., I???, I???, ..., I? 都互素，则 根据 ⑶ 有 I? 与 M? I? ∩ ... ∩ I??? ∩ I??? ∩ ... ∩ I? 互素，于是根据 ⑵ ，则存在 a? ∈ I?， x? ∈ M?，使得 a? x? 1，进而 x? 1 - a?，于是：
f(x?) (x? I?, ..., x? I? , ..., x? I?) (x? I?, ..., 1 - a I? , ..., x? I?)
因为 x? ∈ M? 所以 x? ∈ I?, ..., I???, I??? ,..., I?，因为 a? ∈ I?，所以 - a? ∈ I?，故：
f(x?) (I?, ..., 1 I? , ..., I?) (0 I?, ..., 1 I? , ..., 0 I?)
进而对于 任意 s? ∈ R，有：
f(s?x?) f(s?)f(x?) (s? I?, ..., s? I? , ..., s? I?)( (I?, ..., 1 I? , ..., I?)) ((s? I?)(0 I?), ..., (s? I?)(1 I?) , (s? I?)(0 I?)) ((s?0) I?, ..., (s?1) I?, ..., (s?0) I?) (I?, ..., s? I?, ..., I?)
于是，对于任意 (s? I?, s? I?, ..., s? I?) ∈ R / I? × R / I? × ... × R / I?，都有：
x s?x? s?x? ... s?x?
则得：
f(x) f(s?x? s?x? ... s?x?) f(s?x?) f(s?x?) ... f(s?x?) (s? I?, I?, ..., I?) (I?, s? I?, ..., I?) ... (I?, I?, ..., s? I?) (s? I? ... I?, s? I? ... I?, ..., s? I? ... I? ) (s? I?, s? I?, ..., s? I?)
故，f 是满足射，即 im f R / I? × R / I? × ... × R / I?。
最后，根据环同态基本定理，有：
R / (I? ∩ I? ∩ ... ∩ I?) R / ker f ? im f R / I? × R / I? × ... × R / I?
如果 R 是交换幺环，若 理想 I 和 J 互素，根据 ⑵ 则必然存在 a ∈ I，b ∈ J 使得 a b 1，于是 对于 任意 s ∈ I ∩ J，有：
s s1 s(a b) sa sb，
由于 s ∈ I ∩ J ∈ J， a ∈ I，故 as ∈ IJ，而 R 是 交换环，故 sa as ∈ IJ，又由于 s ∈ I ∩ J ∈ I，b ∈ J ，故 sb ∈ IJ，于是 sa sb ∈ IJ，即，
s ∈ IJ
这就证明了， I ∩ J ? IJ。而前面已经证明了， IJ ? I ∩ J，因此得到：IJ I ∩ J。
于是 在 交换幺环 R 下，环同态基本定理 可写为：
R / (I? I? ... I?) ? R / I? × R / I? × ... × R / I?
在 主理想整环 D 中， 如果 主理想 (m) 和 (n) 互素，则 根据 ⑵ 必然存在 a ∈ (m) 与 b ∈ (n) 使得 a b 1，又因为 D 是整环，所以 D 是交换幺环，根据 ⑧ 有：
(m) { ∑_{有限} s_im | s_i ∈ D } Dm mD
于是，对于 a ∈ (m) mD，必然存在 u ∈ D 使得 a mu；同理，对于 b ∈ (n) nD，必然存在 v ∈ D 使得 b nv。于是有：
mu nv 1
这和《初等数论》中 m 和 v 互素的性质完全相同。于是 在 主理想整环 中 (m) 和 (n) 互素 等价于 m 和 n 互素。
在 主理想整环 D 中，如果 m?, m?, ..., m? 两两互素，则 主理想 (m?), (m?), ..., (m?) 两两互素，于是 根据 中国剩余定理，有：
D / (m?)(m?)...(m?) ? D / (m?) × D / (m?) × ... × D / (m?) D / m?D × D / m?D × ... × D / m?D
令 M m?m?...m? ，则 (m?)(m?)...(m?) (m?m?...m?) (M) MD，于是上式写为：
D / MD ? D / m?D × D / m?D × ... × D / m?D
对应 环同构为：
φ : D / MD → D / m?D × D / m?D × ... × D / m?D
s MD ? (s m?D, s m?D, ..., s? m?D)
对于 任意 m? (i 1, 2, ..., r)，令 M? M / m? m?...m???m???...m? 则 m? 和 M? 互素，于是 存在 a? ∈ (m?) m?D, x? ∈ (M?) M?D 使得 a? x? 1，根据上面证明 中国剩余定理 的经验，可知 φ 逆映射为：
φ?1 : D / m?D × D / m?D × ... × D / m?D → D / MD
(s? m?D, s? m?D, ..., s? m?D) ? (s?x? s?x? ... s?x?) MD
因为 x? ∈ (M?) 故可以令 x? M?M??1, M??1 ∈ D (i 1, 2, ..., r)，于是得到：
φ?1(s? m?D, s? m?D, ..., s? m?D) (s?M?M??1 s?M?M??1 ... s?M?M??1) MD ⑶
另外，a? M?M??1 1，于是有：
M?M??1 1 - a?
进而，
M?M??1 m?D (1 - a?) m?D 1 m?D (- a?) m?D,
因为 a? ∈ m?D，所以 - a? ∈ m?D，故 (- a?) m?D m?D，于是得到条件：
M?M??1 m?D 1 m?D ⑶
在 ⑶ 中，s? m?D 中的元素满足，同余方程：
x? s? (mod m?)
而 条件 ⑶ 就相当于：
M?M??1 1 (mod m?)
因此 ⑶ 就等价于 《初等数论》中介绍的 中国剩余定理。
（关于 《初等数论》里的 中国剩余定理，可以参考 我对 问题：“韩信点兵问题公式或口诀是什么？” 的回答。）
（本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师批评指正。）

扇形的公式口诀？

1、扇形面积S圆心角的角度(角度制) × 圆周率π3.14 × 半径r2 / 360°。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然， 它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。