因式分解十三种方法
有没有一些万能因式分解的方法？
有没有一些万能因式分解的方法？
一、提取公因式法
例1:因式分解：3x^3 8x^2y 6x^2y^3
x^2(3x 8y 6y^3)
有些多项式进行提取公因式法之后，还要进一步进行因式分解，如果没有分解到不能再分，不能算是正确答案。
例2：因式分解：x^2y^2-2x^y x^2
x^2(y^2-2y 1)
x^2(y-1)^2
二、完全平方和公式法
完全平方和公式法使用针对这样的多项式：x^2 2xy y^2,这个式子的逆运算就是计算（x y）(x y)。
例3：因式分解：9a^2 6a 1
(3a)^2 2x3a 1^2
(3a 1)
有时候，因式分解没这么简单的完全平方和，可能要比这个复杂些，可能是一个字母和一个式子的平方和，或者是两个式子的平方和。
例4：因式分解：4a^2 4a 1 2ab b b^2
原式（2a 1）^2 b(2a 1) b^2
(2a b 1)^2
三、完全平方差公式法
完全平方差公式法和完全平方和公式法如同孪生兄弟，二者极其相似，它的基本表达式子是x^2-2xy y^2,它是（x-y）(x-y)的乘积，而在实际因式分解中，并不像公式那样的明显，例如x^2-6x 9,x^2-4xy 4y^2.
例5：x^2 y^2-2xy-6x 6y 9
解析：通过观察发现这个式子可以变成x^2-6x 9-2y(x-3) y^2,可以构成一个完全平方差公式。
原式 x^2-6x 9-2y(x-3) y^2
（x-3）^2-2y(x-3) y^2
(x-y-3)^2
四、平方差公式法
平方差公式法在实际应用中最广，它的表达式比较直观：a^2-b^2,它等于（a b）(a-b)
例6：因式分解：9x^2-y^2-2y-1
如果不对这个多项式进行整理，不容易发现它要用到平方差公式，如果已整理，就变得非常直观，而且这个多项式还要用到完全平方式。
原式9x^2-(y 1)^2
(3x y 1)(3x-y-1)
例7：因式分解 x^2-4x-y^2-2y 3
x^2-4x 4-y^2-2y-1
(x-2)^2-(y 1)^2
(x-2 y 1)(x-2-y-1)
(x y-1)(x-y-3)
五、立方和公式法
立方和常见的类型如a^3 b^3,需要对这个多项式进行分解，才能更好地理解这个式子。
a^3 b^3
a^3 ab^2-ab^2-a^2 a^2b ab^2
a^2(a b)-ab(a b) b^2(a b)
(a b)(a^2-ab b^2)
有很多时候，要分解的因式不一定就是a^3 b^3,对可以进行立方和公式法分解的方法按照立方和公式进行分解
例8：因式分解a^6 b^3
(a^2 b)(a^4-a^2b b)
六、立方差公式法
a^3-b^3
a^3-a^2b a^2b-ab^2 ab^2-b^3
(a-b)（a^2 ab b^2）
要注意立方和与立方差公式中正负号的位置，不要混淆。
七、十字相乘法
十字相乘法应用很广，尤其在一元二次方程中，初中的抛物线方程和解一元二次方程中都会用到一元二次方程，要对十字相乘法中的数字非常熟悉，从-10到10之间（除0以外），两个数字相加和相乘之后的计算结果要非常熟悉，例如-3和 6相加是3，相乘是-18。
例9：因式分解：x^2-4x-12
(x-6)(x 2)
例10：因式分解x^2-y^2 x-5y-6
（x y）(x-y)-2(x y) 3(x y)-6
(x y 3)(x-y-2)
八、添项法
添项法因式分解比上面七个要难，需要进行分析之后，考虑是否添项，并且分析怎么添项。
例11：因式分解 x^5 1
分析：这个题目直接分解，不能分，需要考虑添加项，通过添加的项，帮助找到公共的因式，才能进行因式分解。
原式x^5 x^2-x^2 1
x^2(x^3 1)-(x 1)(x-1)
x^2(x 1)(x^2-x 1)- (x 1)(x-1)
(x^4-x^3 x^2-x 1)(x 1)
添项的目的为要可以提取出公因式，有些对称轮换式，例如a^3 b^3 c^3 3abc,这个多项式只能通过添项才能进行因式分解。
九、拆项法
拆项法一般应用在多项式至少有三项，如果有两项，拆项后变成三项，难以进行因式分解，一般三项或以上考虑拆项的方法。
例12：因式分解x^3-3x^2 4
x^3-2x^2-(x^2-4)
x^2(x-2)-(x-2)(x 2)
(x-2)(x^2-x-2)
(x-2)(x-2)(x 1)
(x-2)^2(x 1)
十、解方程法
例13：因式分解x^5-2x 1
解析：假设这个式子等于0，我们很容易看出1是方程x^5-2x 1的解，因此可以确定x-1就是这个方程的一个因式，顺藤摸瓜，就很方便对这个式子进行因式分解。
因式分解的4种方法？
一，提公因式法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x2 -2x -x
x2-2x -xx(x -2x-1)
二，应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。如，和的平方、差的平方
例2、分解因式a2 4ab 4b2
a2 4ab 4b2 （a 2b)2
三，分组分解法
要把多项式am an bm bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m n) b(m n),又可以提出公因式m n，从而得到(a b)(m n)
例3、分解因式m2 5n-mn-5m
m2 5n-mn-5m m2-5m-mn 5n
(m -5m ) (-mn 5n)
m(m-5)-n(m-5)
(m-5)(m-n)
四，十字相乘法（经常使用）
对于mx2 px q形式的多项式，如果a×bm,c×dq且ac bdp，则多项式可因式分解为(ax d)(bx c)
例4、分解因式7x2-19x-6
分析：1 -3
7 2
2-21-19
7x2-19x-6（7x 2）(x-3)