余数的三大定理
余数相乘定理？
余数相乘定理？
三大余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 1639除以5的余数等于4，即两个余数的和3 1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:23，19除以5的余数分别是3和4，故23 1942除以5的余
数等于3 47除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×13。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为:ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作:a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论:
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。
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用式子表示为:如果有ab ( mod m )，那么一定有a,b,mk,k是
整数，即m|(a,b)。
c语言中余数是什么？
余数，即是对一个数据求余之后的结果，余数的结果总是在0-9之间，对于不同的数据的结果求余之后的结果，可以对数据进行分类。在计算机中的使用同于定理，可以解决数据的分类问题。而在计算机网络中，我们可以使用余数来解决分页的问题。
我们在计算机编程语言中可以接触到哈希函数。每一个编程语言都有对应的哈希函数。哈希函数有时候也可以称为散列。而哈希函数，简单来说，就是对任意长度的输入，压缩为固定长度的输出。
对余一些数据的通过余数，可以对数据进行加密，把数据进行加密。对数据通过乘与余数我们可以数据进行解密。
费马小定理证明过程？
mod:a mod p就是a除以p的余数
费马小定理：a^(p-1)≡1(mod p)
前提：p为质数，且a，p互质
互质：a和p相同的因数为1.
先来看一下≡是什么：
a≡b(mod p) a mod pb mod p
注释： 两边相等
在证明之前，先给出引理：
(1)如果p,c互质,并且a*c≡b*c(mod p)
证明过程：
∵a*c mod p b*c mod p
∴(a*c - b*c) mod p 0
∴(a-b)*c mod p0;
∴(a-b)*c 是p的倍数
∵p,c互质
∴k*p*c mod p 0
∴(a-b)k*p//这里建议你用笔推一下
∴(a-b)%p0
(2) 若a1,a2,a3,a4,am为mod m的完全剩余系，m,b互质，那么
b*a1,b*a2,b*a3,b*a4......b*am也是mod m的完全剩余系。
完全剩余系：从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。
证明过程：
利用反证法：
假设存在一个b*ai≡b*aj(mod p),由引理(1)可证ai≡aj(mod p)
所以这个假设不成立。所以引理(2)成立。
开始费马小定理的证明：
0,1,2,3,4...p-1是p的完全剩余系
∵a,p互质
∴a,2*a,3*a,4*a.......(p-1)*a也是mod p的完全剩余系
∴1*2*3.........*(p-1)*a≡a*2*a*3*a......(p-1)*a (mod p)
∴ (p-1)! ≡ (p-1)!*a^(p-1) (mod p)
两边同时约去(p-1)!
a^(p-1)≡1(mod p)