方程实根个数的判定方法
如何判定一元n次方程的实根个数？
如何判定一元n次方程的实根个数？
【例1】m是非负整数，且关于x的一元二次方程
(1－m2)x2 2(1－m)x－10有两个实数根，求m的值及对应方程的根。
分析：本题关键是求m的值。因已指明此方程是一元二次方程，所以
二次项系数不等于零(1－m2≠0)，在此前提下，因方程有两个实数根，所
以△≥0。再结合m为非负整数，从而求出m的值，把m值代入原方程进而求
出方程的解。
给你举个例子，下面的自己求吧。
解：∵方程是一元二次方程，且有两个实数根，
∴1－m2≠0且△4(1－m)2 4(1－m2)≥0
∴m≠±1且m≤1
又∵m为非负整数，
∴m0
把m0代入原方程，原方程变为：
x2 2x－10
∴x－1±√￣
答：（略）
【例2】试判断关于x的方程(m－1)x2 2mx m 30的根的情况。
分析：有些同学对此题不求甚解，看到是关于判断根的情况，就立即
求△的值，实际上本方程虽是一元二次方程的形式，但并未指明一定是一
个一元二次方程，所以还应对方程的属性（即二次项系数）进行讨论。
解：(ⅰ)当m－10，即m1时，方程变为：
2x 40，∴x－2
(ⅱ)当m－1≠0时，方程是一元二次方程，
△(2m)2－4(m－1)(m 3)4(3－2m)，
此时分以下三种情况讨论：
①当△＞0，即4(3－2m)＞0时，m＜2/3，
即m＜2/3时，方程有两个不相等的实数根；
②当m2/3时，方程有两个相等的实数根；
③当m＞2/3时，方程没有实数根。
比较例1和例2，例1指明了方程是一元二次方程，所以二次项系数
1－m2≠0,在此条件下可以直接利用根的判别式去判定根的情况，而例2虽
是一元二次方程的形式，但并未指明是一元二次方程，一定要针对m取值
分情况讨论。
【例3】已知关于x的二次三项式mx2－2(m 2)x (m 5)在实数范围内不能
分解因式，试判断方程(m－5)x2－2(m 2)x m0根的情况。
分析：因已指明mx2－2(m 2)x (m 5)是二次三项式，所以二次项系数m
≠0，又因在实数范围内不能分解因式，所以其相应的一元二次方程mx2－2
(m 2)x (m 5)0无实数根，求出m的取值范围，在此取值范围下，再分情况
讨论后面方程根的情况。
解：∵mx2－2(m 2)x (m 5)是二次三项式,
∴m≠0
又∵在实数范围内不能分解因式，
∴mx2－2(m 2)x (m 5)0无实数根，
∴△14(m 2)2－4m(m 5)16－4m＜0
∴m＞4
当m＞4时，对于方程(m－5)x2－2(m 2)x m0来说，
①若m5，则方程变形为一个一元一次方程：－14x 50，x5/14
此时方程只有一个实数根；
②当m＞4且m≠5时，方程是一元二次方程，
△24(m 2)2－4m(m－5)36m 16＞0
此时方程有两个不相等的实数根。
答：(略)。
有实根无实根的判别？
一元二次方程ax2 bx c0（a≠0）的根与根的判别式△b2-4ac有如下关系：当△gt0时，方程有两个不相等的实数根；当△0时，方程有两个相等的实数根；当内△《无实数根》是数学里面的专用名词，它表示对于一个高次（二次或以上）方程，如果不存在任何实数令其成立，则此方程“无实数根。
数学特性之一。对于一个高次（二次或以上）方程，如果不存在任何实数令其成立，则此方程“无实数根”。例如方程：x^2 10。对满足此方程，就要找到一个平方之后等于-1的实数，这显然是不存在的。
所以我们说此方程“无实数根”。