证明四点共圆的条件
圆内接四边形条件应满足什么条件？
圆内接四边形条件应满足什么条件？
考虑R关于AD的对称点R，则|PS| |SR| |PS| |SR| |PR|，因此只有∠ASP ∠DSR时才可能是最小，其他点同理有相同的条件。
显然题目中的四边形满足这个条件（由SAPX四点共圆可得）。
接下来就是证明满足这个条件的四边形是唯一的。
对任意的Q，关于AB做对称点Q，关于CD做对称点Q，则SQ与AB交点为P，SQ与CD交点为R。
将Q关于AD做对称点得到Q，则S是QQ与AD的交点。
设，设C关于AB的对称点为C，B关于CD的对称点为B，BC关于AD的对称点为BC，则由于前面的角相等的条件，必须有这是个关于t的线性方程，因此至多有一个解。
因此满足条件的四边形不可能有两个，因此题目中的四边形就是唯一的满足条件的四边形，也就是周长最小的四边形。
平行四边形共圆的判定方法？
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．
方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆． （若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）
方法3 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)
方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．
上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．
判定与性质：
圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A C180度，B D180度，