抽象代数中群的同态和同构证明
系统论的八大基本原理？
系统论的八大基本原理？
1）整体性原理。系统是由若干要素组成的具有独立要素所没有的性质和功能的有机整体，表现出整体的性质和功能不等于各个要素性质和功能的简单叠加。
（2）层次性原理：由于组成系统的各个要素存在各种差异，系统组织在地位和作用，结构和功能上表现出具有质的差异的等级秩序性即层次性。
（3）开放性原理：系统具有不断与外界环境进行物质，能量，信息交换的性质和功能，开放性是系统演化的前提，也是系统稳定的条件。
（4）目的性原理：系统在与环境相互作用的过程中，在一定范围内系统的发展和变化几乎不受条件和途径的影响，表现出某种趋向预定状态的特性。
（5）突变性原理：系统失稳而发生状态变化是一个突变过程，是系统质变的一种基本形式。系统发展过程中存在分叉而且突变方式很多，使系统质变和发展也存在多样性。
（6）稳定性原理：开放系统能够在一定的范围内进行自我调节，保持和恢复系统原有的有序状态，功能结构，具有一定自我稳定的能力。
（7）自组织原理：开放系统由于复杂的非线性作用而使涨落得以放大，从而产生更大范围更强烈的长程相关，系统内部各个要素自发地组织起来，系统从无序向有序，从低级有序向高级有序发展。
（8）相似性原理：系统的结构功能，存在方式和演化过程具有有差异的共性，是系统统一性的一种表示。系统表现出同构和同态。
如何求Zm到Zn的所有同态映射，求具体方法？
对于同态来说，将Zn的一个生成元映射到Zn一个子群的一个生成元上即可。同构就是把一个生成元映射到另一个生成元即可。
群同态基本定理？
群的同态基本定理是了解未知群的妥协办法（群＝非空集合＋二元运算＋性质）
我们知道要了解一个未知群的最好办法是找他的同构群，因为同构映射是双射，这就保证了可由已知群的元素出发一一对应到未知群的元素（意味着未知群在集合的视角下是清晰的），同时若f是G1（已知群）到G2（未知群）的同构映射，则由同构映射的定义可知任给a,b属于G1，有f(a·b)f(a)×f(b)（意味着未知群中带有性质的二元运算也一并被确定了
pbw定理？
PBW定理是李代数中一个重要的定理，其结论简单直观但证明有点麻烦，这里我们用斜多项式环（skew polynomial ring）的理论，可以很清楚的给出证明的基本思想，并且推出一些相关的结论。
设g是有限维李代数，其万有包络代数指结合代数U U（g）与单射i：g → U（g），满足对任何x，y∈g，
i（[x, y]） i（x）i（y）- i（y）i（x）
并且对此性质是万有的：若还有j：g→V满足上述性质，则存在唯一代数同态φ：U→V，使得jφi.
由万有性很容易得到包络代数的唯一性，其存在性是可以通过张量积来构造。设V是g的底向量空间，T（V）是其张量代数，记I是所有x⊙y-y⊙x-[x,y]，x，y∈g的元素生成的理想，则其包络代数U（g）可定义为：
U（g） T（V）/ I
通俗的看，g的包络代数U（g）实际上就是把g中的括号自然展开：
[x, y] xy - yx
在抽象李代数g中，xy ∈ U（g）一般是没有定义的！
对有典型生成元{e，h，f}的sl2， 其包络代数UU（sl2）的生成关系为：
ef - fe h，he - eh 2e，hf - fh -2f
我们将说明这个关系可以通过斜多项式来表示。
下面我们来看斜多项式的概念。设R是环且α是R上的自同构，SR[x；α]是R上的斜多项式环，若S是R上基为{1，x，x^2，…，}的左R-模，满足条件
xr α（r）x， r∈R
设R是环且α是R上的自同构，R上的α-导子指可加导子δ：R→R，满足
δ（rs） α（r）δ（s） rδ（s），r，s∈R
加上这样的α-导子δ，可定义R上（带导子）的斜多项式环SR[x；α，δ]为：S是R上基为{1，x，x^2，…，}的左R-模，满足条件：
xr α（r）x δ（r） ， r∈R
我们可以把包络代数U表示为斜多项式的形式，先考虑e与h生成的子代数R，有
R k[h][e；α]，
其中α（h） h-2. 然后，同样可得
U R[f；β，δ]
其中β（h） h 2，δ（h） 0；β（e） e，δ（e） -h.
对于这样的斜多项式环，Hilbert基定理也成立：若R是右（或左）Noether的，则SR[x；α，δ]也是右（或左）Noether的。
由此可得，包络代数U U（sl2）是Noether的。
PBW定理：若g是李代数，则有单射i：g → U（g）. 事实上，若{e_i；i∈I}是g的基，U（g）的基由形如（e_(i_1)）^(a_1)…（e_(i_n)）^(a_n)的单项式构成，其中各下标i_1，…，i_n∈I可排序且各a_i＞0为整数。
对于sl2而言，其包络代数U有基{f^ih^je^k；i，j，k≥0}. 事实上，我们可以先考虑e与h生成的子代数R，由其生成元的交换关系，可得R有基{h^je^k；j，k≥0}，一般情况无非就是再多加生成元而已。
我们可以把f，h，e视为字母（次数为1），使得U成为分次环：U ⊙U^i.
显然，[U^(i), U^(i)] ≤ U^(i-1)，因此其滤环gr U ⊙U^i U^(i-1)是交换的，它同构于多项式环k[a, b, c]，其中a，b，c分别为f，h，e的像。这可以视为另一种形式PBW定理的特例：
有的文献上把PBW定理叙述为：Sym（g） gr U（g），其中Sym（g）表示g上的对称代数。
综上所述，U U（sl2）是Noether整环。
扩展阅读：
【1】Goodearl K R, Warfield Jr R B. An introduction to noncommutative Noetherian rings[M]. Cambridge university press, 2004.（非交换Noether环的入门书，包括本文中所用到的斜多项式理论）
【2】Mazorchuk V. Lectures on sl2 (C)-modules[M]. London: Imperial College Press, 2010. （sl2-模理论的参考书，包括其PBW定理的朴素处理）
【3】Humphreys J E. Introduction to Lie algebras and representation theory[M]. Springer Science Business Media, 2012. （李代数与表示论的经典参考书，叙述精炼内容丰富）
【4】Erdmann K, Wildon M J. Introduction to Lie algebras[M]. Springer Science Business Media, 2006. （界面友好的李代数入门书，第十五章简单介绍sl2上的PBW定理）