证明三角形内心与外心重合
三角形外心与垂心的关系？
三角形外心与垂心的关系？
三角形外心是三条边的中垂线交点，以此点为圆心，此点到顶点距离为半径画圆，圆在三角形外，所以该点称为三角形外心，
三角形垂心是三条高的交点。
外心与垂心，共同点都是边的垂线的交点，所不同的是，外心三条边的中垂线交点，垂心是过顶点与对边垂直的线的交点，
当三角形是等边三角形时，外心，垂心，内心，重心，这几个点重合，称为等边三角形的中心。
什么条件下重心和内心重合？
因为等边三角形各边到中心的垂直距离是相等的，还有等边三角形个顶点到中心的距离是相等的，所以等边三角形内心和外心是重合的。
三角形外心是怎么形成的？
是三角形三边垂直平分线的交点。
三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。
三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
内切圆与外接圆圆心重合吗？
以三角形为例，一般三角形的内切圆和外接圆的圆心不重合。因为三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的角平分线的交点，叫三角形的内心；而三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心；但是对于特殊的三角形，比如等边三角形来说，它的内心和外心重合。
三角形的重心,垂心,外心,内心的定义及性质分别是什么？
三角形重心定义：三中线的交点，三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心定义：三高的交点； 内心定义：三内角平分线的交点，是三角形的内切圆的圆心的简称； 外心定义：三中垂线的交点。
三角形重心、垂心、外心、内心的定义如下：
重心：三中线的交点，三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心：三高的交点；
内心：三内角平分线的交点，是三角形的内切圆的圆心的简称；
外心：三中垂线的交点；
当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
三角形重心、垂心、外心、内心的性质如下：
一、三角形重心的性质
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。??
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
二、三角形垂心的性质?
垂心：三高的交点；
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外?
三、三角形内心的性质??? ??
1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。??
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。???
3、内角平分线分三边长度关系：⊿ABC中，0为内心，∠A?、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QAa/b，CP/PAa/c，BR/RCc/b。
四、三角形外心的性质
1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。 ??
2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合。
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