三角形五心性质归纳总结
三角形的三心及其性质？
三角形的三心及其性质？
三角形有五心。
三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。
三条中线的交点是重心，
三边垂直平分线的交点是外心，
三条内角平分线的交点为内心，
三角形三条高线的交点为垂心。
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
三角形的重心、垂心、外心、内心的定义及性质分别是什么？
解：三角形三条中线的交点称重心，重心将中线分成2:1，顶住均匀三角形的重心可以平衡三角形；三条高的交点称垂心锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外面；三条边垂直平分线的交点称外心外心到三角形三个顶点距离相等，即外接圆的圆心；三条角平分线的交点叫内心内心到各边距离相等，即三角形内切圆的圆心；每两个外角平分线交点叫旁心，旁心即旁切圆圆心，每个三角形有三个旁心。
重心、垂心、外心、内心、旁心统称三角形五心。
三角形五心的所有性质和证明方法？
一、问题的提出
我们已学完三角形和判断三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL。并且还知道三角形有5个心：重心，垂心，内心，外心，旁心。及其他们的定理：例如重心， 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心，三角形的三条高交于一点。那么我们不禁思考：有没有一个三角形三条中线不交于一点？有没有一个三角形的重心到顶点的距离不是它到对边中点距离的2倍呢？有没有三角形违背另外四个心的定理呢？这一切将通过下面的探讨与研究和证明，从而解决这些问题。
二、具体的实例的证明
重心:求证：三条中线交于一点
连接DE
DE//BC（中位线平行于底边）
假设目前只知道BE和DC两条中线。
AO交DE于G
∠ADE∠B（两线平行同位角相等）
DE//BC（中位线平行于底边）
∠AED∠ACB（两线平行同位角相等）
△ADE相似于△ABC
F是中点那么G就是中点
再连接HI使其穿过O点
△AHI与△ADE中：
∠AHI∠ADE
∠AIH∠AED
∠A∠A
因此△AHI与△ADE相似
因此O为HI中点
所以F为BC中点
即三条中线交于1点
求证：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍？
证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心
做BG中点H，GC中点I
∴HI为△GBC的中位线
∴HI//BC,且 2HIBC
同理：FE是△ABC中位线
∴FE//BC,且 2FEBC
∴FE//HI,且 FEHI
∴四边形FHIE是平行四边形
∴HGGE
又H为BG的中点
∴HGBH
∴HGBHGE
∴2GEBG
∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍
垂心:设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。HAa，HBb，HCc。
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以HA·BC0，HB·CA0，
即a·(c-b)0，
b·(a-c)0，
亦即
a·c-a·b0
b·a-b·c0
两式相加得
c·(a-b)0
即HC·BA0
故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。
内心:
己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O；
求证：
△ABC角平分线交于点O。
证明：∵点O在∠A的角平分线上，
∴O到AB的距离与O到AC的距离相等；
同理可证：O到BC的距离与O到BA的距离相等。
根据等量代换，可知O到AC与O到BC的距离相等，
又∵AC和BC为∠C的边，因此点O在∠C的角平分线上。
∵O为△ABC中，∠A、∠B、∠C角平分线上的点。
求证:OIOGOH
∠1∠2,∠3∠4,∠5∠6(角平分线)
在△AOI与△AOH中:
AOAO(公共边)
∠1∠2(角平分线)
∠AIO∠AHO(垂直于对应边)
∴△AIO全等于△AHO(AAS)
∴OIOH(两个三角形全等,三边对应等)
在△COH与△COG中:
AOAO(公共边)
∠1∠2(角平分线)
∠COH∠COG(垂直于对应边)
∴△COH全等于△COG(AAS)
∴OGOH(两个三角形全等,三边对应等)
外心:
证明:ADBDCD
在△AFO与△BFO中:
AFBF
FOFO
∠AFO∠BFO(垂直平分线)
∴△AOF全等于△FOB(SAS)
∴AOBO(两个三角形全等,三边对应等)
在△AOE与△ECO中:
AEEC
EOEO
∠AEO∠CEO(垂直平分线)
∴△AOE全等于△COE(SAS)
∴AOCO(两个三角形全等,三边对应等)
∵AOBO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵AOCO(两个三角形全等,三边对应等)
∴AOBOCO
即O为△ABC的外接圆的圆心
证明:三条垂直平分线的延长线交于一点,即GO,CO,EO交于一点.
先做一条与BC平行的穿过O的线段,命名为IH.且HI为△ABC的外接圆的直径.
现在,FO与EO已相交于O点
∵HI//BC(已知)
∵GD⊥BC且D为BC中点
∴GO⊥HI且O为HI中点,即为外接圆的圆心,也就是GO与CO,EO交于O点
旁心:
证明:EOFODO
在△ADO与△AFO中:
∠AFO∠ADO
∠DAO∠FAO(角平分线)
AOAO(公共边)
∴△ADO与△AFO全等
∴DOFO(两个三角形全等,三边对应等)
在△FCO与△CEO中:
∠CFO∠ACEO
∠ECO∠FCO(角平分线)
COCO(公共边)
∴△FCO与△CEO全等
∴EOFO(两个三角形全等,三边对应等)
∵EOFO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵EODO(两个三角形全等,三边对应等)
∴EOFODO