求矩阵的初等因子与不变因子例题
矩阵相似的四个必要条件？
矩阵相似的四个必要条件？
（1）判断特征值是否相等；
（2）判断行列式是否相等；
（3）判断迹是否相等；
（4）判断秩是否相等。
以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）
秩相等，特征值一致，是矩阵相似的必要条件而不是充分条件。如果两个矩阵特征值相同，并且可对角化(比如有n个不同的特征值)，则它们相似。
另外, 如果学过λ-矩阵的内容, 那么两个矩阵相似的充分必要条件是它们的初等因子(或不变因子)相同。
初等因子组是什么意思？
初等因子组意思是指把矩阵的每个次数大于零的不变因子。
不变因子是唯一的吗？
对的。
矩阵的初等因子唯一确定了矩阵的不变因子，而矩阵的不变因子唯一确定了矩阵的λ-矩阵的标准形，而λ-矩阵的标准形是唯一的。因此矩阵的初等因子也是唯一的。
不变因子是最小多项式？
初等因子.不变因子.行列式因子都是λ矩阵的概念，所谓λ矩阵就是矩阵的元素aij（λ）都是数域p上的λ多项式。
k（1≤k≤r)阶行列式因子为所有k阶子式的最大公因子，就是一个首一的多项式。
不变因子是smith标准形的对角元素.
初等因子就是把不变因子展成一次因式的幂的乘积后，形如（λ－λi）^ni的因子。
这里不好写，你随便找一本矩阵论的书看看就可以了。
两个数字矩阵相似的充要条件？
两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。
1、两者的秩相等
2、两者的行列式值相等
3、两者的迹数相等
4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同
5、两者拥有同样的特征多项式
6、两者拥有同样的初等因子
若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
互逆的矩阵是否相似？
不一定。
判断两个矩阵是否相似的方法：
（1）判断特征值是否相等。
（2）判断行列式是否相等。
（3）判断迹是否相等。
（4）判断秩是否相等。
两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。