多元函数的极限与连续知识点总结
多元函数求极限的方法？
多元函数求极限的方法？
没有通用方法，一般是“迫敛准则”或者换元之后用一元函数求极限的方法。 例如： f(x,y) x2y / (x2 y2)， 0 ≦ | f(x,y)| ≤ (1/2) x 当 (x,y)→(0,0) 时， (1/2) x →0 ∴ |f(x,y)|→0, 从而 f(x,y)→0
只是想问一下。求多元函数的极限可以用等价无穷小替换吗？还是非要用夹逼定理？
等价无穷小代换也可以应用于多元函数的极限的。
为啥要多元函数求极限？
针对两元函数：
在其中一元不影响极限的情况，即相当于算两次极限，此时相当于一元函数，自然可以用洛必达法则。
《吉米多维奇》上有一定的阐述吧，可以看看。
证明连续性的步骤？
1、证明一个分段函数是连续函数。
首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。
分段点处的左极限用左边的函数式做，分段点处的右极限用右边的函数式做。
2、多元函数在某点处的连续性证明
如果一个多元函数是连续的,那么一般的做法是这样：通过夹逼法,h(x)f(x)g(x),而h(x)与 g(x)的极限又是相等的,然后通过对比f(x)在某一点的函数值,最后得出结论是否相等.而一般的。
这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性,而又往往左边h(x)是0,右边g(x)也是趋于零的.而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限。
求多元函数的间断点？
答：求多元函数的间断点，见下：
绝对值函数的可疑间断点：一般优先考虑绝对值为0的点.
任意函数的可疑间断点：
一般都先考虑定义域的边界点（端点）和极限可能为无穷大的点（奇点）.
分段函数和有理函数相对困难一点：
分段函数优先考虑端点,
有理函数优先考虑奇点（使得分母为0）.
函数的极限与连续性定理证明？
函数的连续性
定义1 函数f 在点x 0的某邻域内有定义，若函数f 在点x 0有极限且此极限等于该点的函数值，即lim f (x ) f (x 0) ，则称f 在点x 0连续 x →x 0
f 在点x 0连续必须满足三个条件：
（1）在点x 0的一个邻域内有定义
（2）lim f (x ) 存在 x →x 0
（3）上述极限值等于函数值f (x 0)
若上述条件有一个不满足，则点x 0就是函数f 的间断点。
1、如何证明一个分段函数是连续函数
首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。
分段点处的左极限用左边的函数式做，
分段点处的右极限用右边的函数式做。
2、多元函数在某点处的连续性如何证明
没有专门的一个公式或定理,但是我可以总结几个方法给你看看.
如果一个多元函数是连续的,那么一般的做法是这样：通过夹逼法,h(x)ltf(x)ltg(x),而h(x)与 g(x)的极限又是相等的,然后通过对比f(x)在某一点的函数值,最后得出结论是否相等.而一般的,这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性,而又往往左边h(x)是0,右边g(x)也是趋于零的.而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限.
如果一个多元函数是不连续的,这种最开心了,为什么这么说呢,一般的你可以先设定变量间的关系,比如y kx,y kx^2等等,最后发现极限与k相关,k取不同的值极限也取不同的值,所以极限是不存在的.