a与b相加的秩不大于a的秩和b的秩
两个矩阵之积数值是否等于两个矩阵各自数值相乘？
两个矩阵之积数值是否等于两个矩阵各自数值相乘？
是的。
因为当某一个矩阵行列式为零，容易知道，结论成立。
当两个n阶行列式均不为零时，知道两个的秩均是n，那么经过行列间的加减(注意，不能进行倍乘)，可以得到两个n阶对角矩阵diag(a1，a2，…，an)和diag(b1，b2，…，bn)，那么两个行列式之积就是所有ai相乘再乘所有bi。
当提及“矩阵相乘”或者“矩阵乘法”的时候，并不是指代这些特殊的乘积形式，而是定义中所描述的矩阵乘法。在描述这些特殊乘积时，使用这些运算的专用名称和符号来避免表述歧义。
矩阵乘法
两矩阵相乘，左矩阵第一行乘以右矩阵第一列（分别相乘，第一个数乘第一个数），乘完之后相加，即为结果的第一行第一列的数，依次往下算：
1、用A的第2行各个数与B的第1列各个数对应相乘后加起来,就是乘法结果中第2行第1列的数。
2、用A的第2行各个数与B的第2列各个数对应相乘后加起来,就是乘法结果中第2行第2列的数。
3、用A的第2行各个数与B的第3列各个数对应相乘后加起来,就是乘法结果中第2行第3列的数。
依次进行，（直到）用A的第2行各个数与B的第末列各个数对应相乘后加起来,就是乘法结果中第2行第末列的的数。
两个矩阵相加减后秩怎么变？
可以这样从意义上来形象地理解：
首先秩可以理解为线性无关的列向量的组数。
那么矩阵A、B的秩分别a、b，那么就是分别有a、b个线性无关的列向量了。
而线性相关的就是由向量加减后是否平行决定的。
于是这两个矩阵相加，线性无关的列向量当然最多就a b个了，别的根本加不出来的。
矩阵a的秩等于矩阵b的秩？
矩阵A（m行n列）的行秩是行向量所能展开的空间的维度，即m个行向量中最大不线性相关的向量的个数，设为Rank(row);同样A的列秩是n个列向量空间的维度，记为Rank(col).
有：对于任何A,其Rank(col)Rank(row)Rank(A),即矩阵的秩等于行秩也等于列秩。
于是一个矩阵的秩等于它的转置的秩。
现在从一个角度理解下为什么 Rank(col)Rank(row)Rank(A)：
从矩阵乘法的两种理解说起（矩阵乘法的计算一共有四种方法，这里用到其中两种）：
CAB可以看成A依次右乘以B的各列，即对于B的一列，拿它的元素作为系数对A的各列做线性组合，作为C中的一列。显然，C中的各列都是A中各列的线性组合，C的列空间是A的列空间的子空间，即Rank(col) of C Rank(col) of A. 推广一下，A不管右乘多少个矩阵，得到的矩阵的列空间一定是A的列空间的子空间。
CAB也可以看成B依次左乘以A的各行，即对于A的一行，拿它的元素作为系数对B的各行做线性组合，作为C中的一行。显然，C中的各行都是B中各行的线性组合，C的行空间是B的行空间的子空间。
现在假设A（m行n列）的列空间的维度是r(rn)，则可以认为ARB,(其中R为m行r列并且列空间的维度为r，B为r行n列）。由于ARB，所以A的行空间的维度B的行空间的维度r，即A的行空间的维度列空间的维度。类似可以推出A的列空间的维度行空间的维度。这两条要同时满足，只能是行空间维度列空间维度了。
另外，矩阵乘法AB的其它两种定义，一个就是正常的求和公式；还有一个就是外积(A的各列乘以B的各行得到许多矩阵，然后相加)。
其实行秩和列秩为什么神奇的相等,需要更深入地学习. 比如 [Advanced Calculus Revised Edition, Loomis, Lynn H., 1968](Advanced Calculus Revised, Lynn Harold Loomis, Shlomo Sternberg), p84 提到:
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PS: 今天看《线性代数的几何意义》第5.7.1节，觉得里面说的比我上面说的更直观，我下面加工一下，复述如下：
首先有，对于矩阵 ,行秩和列秩都 : 以行秩为例，一共有才m行，所以行秩不可能大于m；而每个行向量才n个坐标，秩又不可能大于n；所以，行秩。同理可以论证列秩 。虽然这一步还没有说明行秩必须等于列秩，但是可以让我们把矩阵变先变成一个方阵后再讨论：假设 ,先把通过消灭多余（即线性相关）的列向量变成方阵 以后再讨论秩的问题。
这时候就是这本书里面讲的结论：“方阵里面，有几个行向量是多余的，就有几个列向量是多余的”。思路大致是，假设行向量里面有一个是多余的(即是其它行向量的线性组合)，则可以把这个行向量去掉（或者变成0，一样的效果），这样就又不是一个方阵了。于是在通过上面的方法去掉一列，使它变成方阵。如此反复，直到它变成一个方阵且行向量和列向量都独立为止。显然，行秩必然等于列秩。