只有对称矩阵才有合同矩阵吗
与单位矩阵等价的矩阵？
与单位矩阵等价的矩阵？
可逆矩阵与单位矩阵是等价的，因为秩都是n 但不一定合同，因为与单位矩阵E合同，需要满足AP^TEPP^TP 也即需要满足是对称矩阵，且需要满足正负惯性指数相同 也即A特征值都是正特征值（不能有负的），才能与单位矩阵合同
为什么实对称矩阵相似则一定合同?有证明吗？
谱分解定理：实对称矩阵正交相似于对角阵也就是说如果A是实对称矩阵，不仅存在可逆阵P使得DP^{-1}AP是对角阵，而且还可以要求P是正交阵这样一来DP^{-1}APP^TAP，即正交变换既是相似变换又是合同变换楼上完全在乱讲，比如ABI，P取成非对称的可逆阵
任何矩阵都有合同矩阵吗？
任何矩阵都与其自身合同。
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得CTACB，则称方阵A合同于矩阵B.
一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。
合同矩阵有以下特征:
反身性，任意矩阵都与其自身合同
传递性，A合同于B，B合同于C
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在现代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是 实对称矩阵。两个 实对称矩阵合同的 充要条件是它们的 正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵 等秩。
两个矩阵合同规范型一定相同吗？
二次型只有平方项，则称二次型为标准型
如果标准型中，系数只有1，-1和0，那么称为二次型的规范型，因为标准型中，1，-1，0的个数是由正负惯性指数决定的，而合同的矩阵正负惯性指数相同，因此相互合同的矩阵乘以相同的向量组得到的二次型的规范型一定相同。
此外，求一个二次型的正负惯性指数，是通过求特征值得到，为正数的特征值的个数就是正惯性指数，即规范型中1的个数。
一个二次型的标准型不唯一，规范型唯一。
求标准型的方法就是按照实对称矩阵对角化的步骤，把二次型的矩阵作为实对称矩阵，求处Q，然后做正交变换xQy（xy为列向量），得到
把向量组中的每个xi根据Q替换为yi，即可得到标准型