证明多元函数连续和可偏导的关系
连续偏导数一定存在吗？
连续偏导数一定存在吗？
函数连续偏导数不一定存在。因为偏导数存在只能保证函数在某个方向上是连续的，比如关x连续，关y连续，但是实际上，多元函数连续，其极限手段比较复杂比较多，可能是四面八方各个方向。
函数yf(x)当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的;又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的，对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，可用极限给出严格描述:设函数yf(x)在x0点附近有定义，如果有lim(x-x0) f(x)f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。
判断多元分段函数是否连续？
首先判断各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）。
然后分析分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。
分段点处的左极限用左边的函数式来做， 分段点处的右极限用右边的函数式来做。
这样就可以判断出结果。
函数可微，那么偏导数一定存在，且连续吗？
函数可微则这个函数一定连续，但连续不一定可微．多元函数可微则偏导数一定存在，可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微，但反推不行。
若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。必要条件：若函数在某点可微，则函数在该点必连续，该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)(x0 △x,y0 △y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:
△z＝f（x0＋△x，y＋△y）－f（x0，y0）＝A△x＋B△y＋o（ρ），其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ＝〔（△x）＾2＋（△y）＾2〕＾0．5．o（ρ）是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o（ρ）／ρ趋于零．则称f在P0点可微。
可微的充要条件是曲面z＝f（x，y）在点P（x0，y0，f（x0，y0））存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0（x0，y0）可微，这个切面的方程应为Z－z＝A（X－x0）＋B（Y－y0）。
可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。
一般来说，若X是函数定义域上的一点，且′（X）有定义，则称在X点可微。这就是说的图像在（X，（X））点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。
实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。